Calcul de puissances - Corrigé

Énoncé

Utiliser la forme trigonométrique pour calculer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. $z_1=(1-i{)}^{10}$

2. $z_2=(4-4\sqrt{3}i{)}^8$

Solution

1. On a :  $z_1=z^{10}$ avec $z=1-i$ . Ainsi, $\left|z_1\right|={\left|z\right|}^{10}$ et $\arg (z_1)\equiv 13\arg (z)[2\pi ]$ .

Déterminons la forme trigonométrique de $z$ .
On a : $\left|z\right|=|1-i|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
et donc 
$\begin{array}{r}z=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}(\cos \frac{-\pi }{4}+i\sin \frac{-\pi }{4})\end{array}$
donc $\left|z\right|=\sqrt{2}\text{et}\arg (z)\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{4}}[2\pi ]$ .
On en déduit que $\left|z_1\right|=(\sqrt{2}{)}^{10}=2^5=32$   et  $\arg (z_1)\equiv 10\times {\displaystyle \frac{-\pi }{4}}\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{2}}[2\pi ]$ .

Par conséquent :
$\begin{array}{rl}{z}_1& =32(\cos \frac{-\pi }{2}+i\sin \frac{-\pi }{2})=32(0+i\times (-1))=-32i.\end{array}$

2. On a :   $z_2=(4-4\sqrt{3}i{)}^8=(4(1-\sqrt{3}i){)}^8=4^8\times (1-\sqrt{3}i{)}^8=4^8\times z^{8}avecz=1-\sqrt{3}i$ .

Ainsi  $\left|z_2\right|=4^8{\left|z\right|}^8$  et   $\arg (z_2)\equiv \arg (4^8)+\arg (z^8)\equiv 8\arg (z^8)[2\pi ]$ .

Déterminons la forme trigonométrique de $z$ .
On a : $\left|z\right|=|1-\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
et donc :
$\begin{array}{r}z=2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=2(\cos \frac{-\pi }{3}+i\sin \frac{-\pi }{3})\end{array}$
donc $\left|z\right|=2$ et $\arg (z)\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{3}}[2\pi ]$ .
On en déduit que $\left|z_2\right|=4^8\times 2^8=8^8$ et  $\arg (z_2)\equiv 8\times {\displaystyle \frac{-\pi }{3}}\equiv {\displaystyle \frac{-2\pi }{3}}[2\pi ]$ .

Par conséquent :
$\begin{array}{rl}{z}_2& =8^8(\cos \frac{-2\pi }{3}+i\sin \frac{-2\pi }{3})=8^8(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=-\frac{8^8}{2}-\frac{8^8\sqrt{3}}{2}i.\end{array}$